Question

2010年亚冠联赛，山东鲁能、广岛三箭、阿德莱德联、浦项制铁分在同一组进行循环赛，已知规则为每轮胜得3分，平得1分，负得0分．第一轮在2月24日的比赛中，山东鲁能客场l：0战胜广岛三箭；第二轮主场对阵阿德莱德联；第三轮客场对阵浦项制铁．若山东鲁能主场胜的概率为

2

3

，负的概率为

1

12

，客场胜、平、负是等可能的．假定各场比赛相互之间不受影响．在前三轮中求：
（Ⅰ）山东鲁能两胜一平的概率；
（Ⅱ）山东鲁能积分的数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,互斥事件的概率加法公式,相互独立事件的概率乘法公式

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）记山东鲁能两胜一平的事件为A，由于第一轮已经取胜，则事件A包含第二轮主场胜，第三轮客场平，或第二轮主场平，第三轮客场胜，由此能求出山东鲁能两胜一平的概率．
（Ⅱ）记山东鲁能在第二轮和第三轮得分为随饥变量X，则X的取值为6，4，3，2，1，0，分别求出相应的概率，由此能求出山东鲁能积分的数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）记山东鲁能两胜一平的事件为A，
由于第一轮已经取胜，则事件A包含第二轮主场胜，第三轮客场平，或第二轮主场平，第三轮客场胜，
从而P（A）=

2

3

×

1

3

+

1

4

×

1

3

=

11

36

，…（5分）
所以山东鲁能两胜一平的概率为

11

36

．…（6分）
（Ⅱ）记山东鲁能在第二轮和第三轮得分为随饥变量X，
则X的取值为6，4，3，2，1，0，
P（X=6）=

2

3

×

1

3

=

2

9

，
P（X=4）=

2

3

×

1

3

+

1

4

×

1

3

=

11

36

，
P（X=3）=

2

3

×

1

3

+

1

12

×

1

3

=

1

4

，
P（X=2）=

1

4

×

1

3

=

1

12

，
P（X=1）=

1

4

×

1

3

+

1

12

×

1

3

=

1

9

，
P（X=0）=

1

12

×

1

3

=

1

36

，
∴X的分布列为：

X	6	4	3	2	1	0
P	2 9	11 36	1 4	1 12	1 9	1 36

∴X的分布列为：
EX=6×

2

9

+4×

11

36

+3×

1

4

+2×

1

12

+1×

1

9

+0×

1

36

=

43

12

，
∴前三轮山东鲁能积分的数学期望为

43

12

+3=

79

12

．．…（12分）

点评：本题考查概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，是中档题．