Question

已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f(x)=

3 8 x2(0≤x≤2) ( 2 2 )x+1(x＞2)

若关于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（　　）

• A、(-3，-

  5

  2

  )
• B、(-

  5

  2

  ，-1)
• C、(-3，-

  5

  2

  )∪(-

  5

  2

  ，-1)
• D、（-3，-1）

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：作出f（x）在y轴右边的图象，从而由题意可得x²+ax+b=0的两根分别为x₁=

3

2

，1＜x₂＜

3

2

或0＜x₁≤1，1＜x₂＜

3

2

，再由两根之和，结合不等式的性质，从而求解．

解答： 解：作出f(x)=

3 8 x2(0≤x≤2) ( 2 2 )x+1(x＞2)

的图象如右，
又∵函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，
且关于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0，a，b∈R
有且仅有6个不同实数根，
∴x²+ax+b=0的两根分别为x₁=

3

2

，1＜x₂＜

3

2

或0＜x₁≤1，1＜x₂＜

3

2

；
由韦达定理可得，x₁+x₂=-a；
若x₁=

3

2

，1＜x₂＜

3

2

，
则

5

2

＜-a＜3，
即-3＜a＜-

5

2

；
若0＜x₁≤1，1＜x₂＜

3

2

；
则1＜-a＜

5

2

，
即-

5

2

＜a＜-1；
综上可得，-3＜a＜-

5

2

或-

5

2

＜a＜-1．
故选C．

点评：本题考查了函数的零点与方程的根的联系，属于中档题．