Question

已知圆C：（x-2）²+（y-2）²=1，直线l过定点A（1，0）
（1）若直线l平分圆的周长，求直线l的方程；
（2）若直线l与圆相切，求直线l的方程；
（3）若直线l与圆C交于PQ两点，求△CPQ面积的最大值，并求此时的直线方程．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）若直线l平分圆的周长，直线l过（2，2），利用直线l过定点A（1，0），可求直线l的方程；
（2）若直线l与圆相切，分类讨论，利用点到直线的距离公式，即可求直线l的方程；
（3）若直线l与圆C交于PQ两点，△CPQ面积取最大值，∠PCQ=90°，d=

2

2

，即可求此时的直线方程．

解答： 解：（1）∵直线l平分圆的周长，
∴直线l过（2，2），
∵直线l过定点A（1，0），
∴直线l的方程为y-0=

2-0

2-1

（x-1），即2x-y-2=0；
（2）斜率不存在时，x=1，满足题意；
斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1），即kx-y-k=0，
∴

|k-2|

k2+1

=1，∴k=

3

4

，
∴直线l的方程为3x-4y-3=0．
综上所述，直线l的方程为x=1或3x-4y-3=0；
（3）S△CPQ=

1

2

CP•CQ•sin∠PCQ=

1

2

sin∠PCQ≤

1

2

，
“=”成立时，∠PCQ=90°，∴d=

2

2

，
由题意，直线l斜率存在，∴设l方程为y=k（x-1），
可得

|k-2|

k2+1

=

2

2

，解得k=1或7，
∴所求方程为y=x-1或y=7x-7…16

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查直线方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．