题目内容
方程log3x+1-x=0的解的个数为 ．
考点：根的存在性及根的个数判断
专题：函数的性质及应用
分析：设函数f（x）=log3x+1-x，判断函数的单调性，利用函数零点个数即可得到结论．
解答：
解：设f（x）=log3x+1-x，则函数f（x）的定义域为（0，+∞），
函数的导数为f′（x）=
-1=
，
由f′（x）＞0得0＜x＜
，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得x＞
，此时函数单调递减，
则当x=
，此时函数取得极大值f（
）=log3
+1-
=log3
-
＞0，
则f（x）存在两个零点，
故方程log3x+1-x=0的解的个数为2个．
故答案为：2
函数的导数为f′（x）=
| 1 |
| xln3 |
| 1-xln3 |
| xln3 |
由f′（x）＞0得0＜x＜
| 1 |
| ln3 |
由f′（x）＜0得x＞
| 1 |
| ln3 |
则当x=
| 1 |
| ln3 |
| 1 |
| ln3 |
| 1 |
| ln3 |
| 1 |
| ln3 |
| 3 |
| ln3 |
| 1 |
| ln3 |
则f（x）存在两个零点，
故方程log3x+1-x=0的解的个数为2个．
故答案为：2
点评：本题主要考查方程根的个数的判断，利用方程和函数之间的关系转化为函数，利用导数研究函数的极值是解决本题的关键．
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