题目内容
如图，已知在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，AB=5，BC=4，AA1=4，点D是AB的中点．（1）求证：AC1∥平面CDB1
（2）求B1D与平面BCC1B1所成的角的正切值．
考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定
专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角
分析：（1）连接B1C交BC1于点E，则DE为△ABC1的中位线，得到DE∥AC1，从而得到AC1∥面B1CD．
（2）取BC中点H，连接DH，则∠DBH为B1D与平面BCC1B1所成的角，即可求出B1D与平面BCC1B1所成的角的正切值．
（2）取BC中点H，连接DH，则∠DBH为B1D与平面BCC1B1所成的角，即可求出B1D与平面BCC1B1所成的角的正切值．
解答：
（1）
证明：设B1C与BC1交于点E，则E为BC1的中点，连结DE，则在△ABC1中，DE∥AC1，
又DE?面CDB1，AC1?面CDB1，∴AC1∥平面B1CD．
（2）解：取BC中点H，连接DH，则DH平行且等于
AC1，
∵AC⊥平面BCC1B1，
∴DH⊥平面BCC1B1，
∴∠DBH为B1D与平面BCC1B1所成的角，
∵DH=
，B1H=
=2
，
∴tan∠DB1H=
=
=
．
证明：设B1C与BC1交于点E，则E为BC1的中点，连结DE，则在△ABC1中，DE∥AC1，又DE?面CDB1，AC1?面CDB1，∴AC1∥平面B1CD．
（2）解：取BC中点H，连接DH，则DH平行且等于
| 1 |
| 2 |
∵AC⊥平面BCC1B1，
∴DH⊥平面BCC1B1，
∴∠DBH为B1D与平面BCC1B1所成的角，
∵DH=
| 3 |
| 2 |
| BH2+BB12 |
| 5 |
∴tan∠DB1H=
| DH |
| B1H |
| ||
2
|
3
| ||
| 20 |
点评：本题考查证明线面平行的方法，求B1D与平面BCC1B1所成的角的正切值，属于中档题．
练习册系列答案
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