Question

6．已知函数f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）-tanα•cosx，且f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$．
（1）求tanα的值；
（2）求函数g（x）=f（x）+cosx的对称轴与对称中心．

Answer 1

分析 （1）由函数f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）-tanα•cosx，结合f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，可得tanα的值；
（2）函数g（x）=f（x）+cosx=sin（x+$\frac{π}{6}$），结合正弦函数的对称性，可得函数的对称轴方程和对称中心坐标．

解答 解：（1）∵函数f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）-tanα•cosx，
∴f（$\frac{π}{3}$）=1-$\frac{1}{2}$tanα=$\frac{1}{2}$．
∴tanα=1；
（2）由（1）得f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）-cosx，
∴函数g（x）=f（x）+cosx=sin（x+$\frac{π}{6}$），
由x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z得：x=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
故函数g（x）的对称轴方程为：x=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
由x+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z得：x=kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z，
故函数g（x）的对称中心坐标为：（kπ-$\frac{π}{6}$，0），k∈Z．

点评 本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，难度中档．