Question

15．在△ABC中，c=2a，B=120°，且△ABC面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求b的值；
（2）求tanA的值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用三角形面积公式可求a，c的值，进而利用余弦定理可求b的值．
（2）由余弦定理可求cosA的值，进而利用同角三角函数基本关系式可求tanA=$\sqrt{\frac{1}{co{s}^{2}A}-1}$的值．

解答 （本题满分为13分）
解：（1）∵c=2a，B=120°，△ABC面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×a×2a×\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴解得：a=1，c=2，
∴由余弦定理可得：b=$\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}-2accosB}$=$\sqrt{1+4-2×1×2×（-\frac{1}{2}）}$=$\sqrt{7}$．
（2）∵a=1，c=2，b=$\sqrt{7}$，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$，
∴tanA=$\sqrt{\frac{1}{co{s}^{2}A}-1}$=$\frac{\sqrt{3}}{5}$．

点评 本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．