Question

如图，O为正方形ABCD的中心，四边形ODEF是平行四边形，且平面ODEF⊥平面ABCD，AD=2，DE=

2

．
（Ⅰ）证明：DF⊥平面ACE；
（Ⅱ）线段EC上是否存在一点M，使得AE∥平面BDM？若存在，求出EM：MC的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出△ADC为等腰三角形，AC⊥OD，AC⊥平面ODEF，AC⊥FD，△ODE为等腰三角形，由此能证明FD⊥平面ACE．
（Ⅱ）存在线段EC的中点M，使AE∥平面BDM．此时EM：MC的值为1．

解答： （Ⅰ）证明：∵平面ABCD是正方形
∴△ADC为等腰三角形，
中线OD为底边AC的高，
∴AC⊥OD，
且OD=

AD

2

=

2

2

=

2

，
又∵平面ODEF⊥平面ABCD，平面ODEF∩平面ABCD=OD，
∴AC⊥平面ODEF，
∴AC⊥FD，
∵平行四边形ODEF，
∴FD经过OE的中点
又∵DE=

2

=OD，
∴△ODE为等腰三角形，
中线FD为底边OE的高，∴FD⊥OE，
∴在平面ACE中FD⊥AC，FD⊥OE，且 AC∩OE=O，
∴FD⊥平面ACE．
（Ⅱ）解：存在线段EC的中点M，使AE∥平面BDM．
∵M是线段EC的中点，O为AC的中点，
∴EA=OM，
∵OM?平面BDM，EA不包含平面BDM，
∴AE∥平面BDM，
此时EM：MC的值为1．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．