Question

对于函数f（x）=

sinx

x

，x∈(-

π

2

，0)∪(0，

π

2

)，对于区间(-

π

2

，0)∪(0，

π

2

)上的任意实数x₁，x₂，有如下条件：（1）x₁＞x₂；（2）x₁²＞x₂²；（3）|x₁|＞x₂；（4）x₁+x₂＜0；（5）x₁＞|x₂|，其中能使f（x₁）＜f（x₂）恒成立的条件的序号有

 

．（写出你认为成立的所有条件序号）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：利用导数可以判定其单调性，再判断出奇偶性，逐项分析可判断出结论．

解答： 解：f′（x）=

xcosx-sinx

x2

，
令g（x）=xcosx-sinx，则g′（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx，
当x∈(0，

π

2

)时，g′（x）＜0，g（x）递减，
∴g（x）＜g（0）=0，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，

π

2

）上单调递减，
又f（-x）=f（x），∴f（x）为偶函数，在（-

π

2

，0）上递增．
（1）x₁＞x₂，f（x₁）＜f（x₂）不成立；
（2）由x₁²＞x₂²，得|x₁|＞|x₂|，∴f（|x₁|）＜f（|x₂|），即f（x₁）＜f（x₂）成立；
（3）|x₁|＞x₂，取x₁=-

1

2

，x₂=-1，则f（x₁）＜f（x₂）不成立；
（4）x₁+x₂＜0，取x₁=-

1

2

，x₂=-1，则f（x₁）＜f（x₂）不成立；
（5）x₁＞|x₂|，即|x₁|＞|x₂|，由（2）知f（x₁）＜f（x₂）成立；
故答案为：②⑤．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、判定函数的奇偶性等是解题的关键．