题目内容
19．已知椭圆C1：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，焦距为2$\sqrt{2}$，抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点F是椭圆C1的顶点．（Ⅰ）求C1与C2的标准方程；
（Ⅱ）设过点F的直线l交C2于P，Q两点，若C1的右顶点A在以PQ为直径的圆内，求直线l的斜率的取值范围．
分析 （Ⅰ）由椭圆的性质，求得a和c则值，b2=a2-c2=1，求得椭圆方程，由抛物线的焦点在y轴上，则$\frac{p}{2}$=1，求得p的值，求得抛物线方程；
（Ⅱ）将直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得直线l的斜率的取值范围．
解答 解：（Ⅰ）设椭圆C1的焦距为2c，依题意有2c=2$\sqrt{2}$，
则c=$\sqrt{2}$，离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，则a=$\sqrt{3}$，
b2=a2-c2=1，
故椭圆C1的标准方程$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$，
又抛物线C2焦点在y轴正半轴，则抛物线焦点F是椭圆的C1上顶点，F（0，1），则p=2，
故抛物线C2的标准方程为x2=4y；
（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：y=kx+1，设点A（x1，y1），B（x2，y2），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得x2-4kx-4=0，由韦达定理得x1+x2=4k，x1x2=-4．
A（$\sqrt{3}$，0）在以PQ为直径的圆内，
则$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=（x1-$\sqrt{3}$，y1）（x2-$\sqrt{3}$，y2）=x1x2-$\sqrt{3}$（x1+x2）+3+y1y2＜0，
则16x1x2-16$\sqrt{3}$（x1+x2）+48+（x1x2）2＜0，即-64-16$\sqrt{3}$×4k+48+16＜0，解得：k＞0
直线l的斜率的取值范围（0，+∞）．
点评 本题考查椭圆及抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．
| A． | （-∞，$\frac{1}{4}$）∪（$\frac{5}{4}$，+∞） | B． | （-∞，$\frac{1}{4}$） | C． | （$\frac{5}{4}$，+∞） | D． | 以上都不对 |
| A． | $10+2\sqrt{13}$ | B． | 3$\sqrt{2}$ | C． | $10+4\sqrt{13}$ | D． | 12 |
| A． | $2\sqrt{2}$ | B． | 1 | C． | 2 | D． | $\sqrt{3}$ |
| A． | 1±$\sqrt{2}$或0 | B． | $\frac{{2-\sqrt{5}}}{2}或0$ | C． | $\frac{{2±\sqrt{5}}}{2}$ | D． | $\frac{{2+\sqrt{5}}}{2}或0$ |
| A． | $\frac{π}{4}$ | B． | $\frac{π}{3}$ | C． | $\frac{π}{2}$ | D． | $\frac{3π}{4}$ |