Question

7．已知函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}-2x+5$．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，5）处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，求出切线斜率k=f'（0），即可求解切线方程．
（Ⅱ）令f'（x）=0，得：x₁=-1，x₂=2，通过列表，判断导函数的符号，得到函数的单调性，然后求解函数的极值．

解答 （本小题满分10分）
解：f'（x）=x²-x-2…（2分）
（Ⅰ）依题意可知：切线斜率k=f'（0）=-2…（4分）∴切线方程为：y-5=-2（x-0）即2x+y-5=0…（6分）
（Ⅱ）令f'（x）=0，得：x₁=-1，x₂=2…（8分）
当x变化时，f'（x），f（x）变化如下表

x	（-∞，-1）	-1	（-1，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函数	极大值$\frac{37}{6}$	减函数	极小值$\frac{5}{3}$	增函数

…（11分）
∴f（x）的极大值为$f（-1）=\frac{37}{6}$，极小值为$f（2）=\frac{5}{3}$…（12分）

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．