Question

9．已知等差数列{a_n}中，a₁=1，且a₁，a₂，a₄+2成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式及其前n项和S_n；
（2）设${b_n}={2^{{{（{-1}）}^n}{a_n}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₁=1，且a₁，a₂，a₄+2成等比数列．可得：${a}_{2}^{2}$=a₁•（a₄+2），即（1+d）²=1×（1+3d+2），解得d．经过验证可得d，再利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
（2）${b_n}={2^{{{（{-1}）}^n}{a_n}}}$=${2}^{（-1）^{n}（2n-1）}$．当n为偶数时，$\frac{{b}_{n+2}}{{b}_{n}}$=$\frac{{2}^{2n+3}}{{2}^{2n-1}}$=16．当n为奇数时，$\frac{{b}_{n+2}}{{b}_{n}}$=$\frac{{2}^{-（2n+3）}}{{2}^{-（2n-1）}}$=$\frac{1}{16}$．可得数列{b_n}的奇数项是以$\frac{1}{2}$为首项，$\frac{1}{16}$为公比的等比数列；偶数项是以8为首项，16为公比的等比数列．利用求和公式即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₁=1，且a₁，a₂，a₄+2成等比数列．
∴${a}_{2}^{2}$=a₁•（a₄+2），即（1+d）²=1×（1+3d+2），解得d=2或-1．
其中d=-1时，a₂=0，舍去．
∴d=2，可得a_n=1+2（n-1）=2n-1．
S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²．
（2）${b_n}={2^{{{（{-1}）}^n}{a_n}}}$=${2}^{（-1）^{n}（2n-1）}$．
∴当n为偶数时，$\frac{{b}_{n+2}}{{b}_{n}}$=$\frac{{2}^{2n+3}}{{2}^{2n-1}}$=16．当n为奇数时，$\frac{{b}_{n+2}}{{b}_{n}}$=$\frac{{2}^{-（2n+3）}}{{2}^{-（2n-1）}}$=$\frac{1}{16}$．
∴数列{b_n}的奇数项是以$\frac{1}{2}$为首项，$\frac{1}{16}$为公比的等比数列；偶数项是以8为首项，16为公比的等比数列．
∴数列{b_n}的前2n项和T_2n=（b₁+b₃+…+b_2n-1）+（b₂+b₄+…+b_2n）
=$\frac{\frac{1}{2}×[1-（\frac{1}{16}）^{n}]}{1-\frac{1}{16}}$+$\frac{8×（1{6}^{n}-1）}{16-1}$
=$\frac{8}{15}$（16ⁿ-16^-n）．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的定义通项公式与求和公式及其性质、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．