Question

20．已知下列命题：
①?x∈（0，2），3^x＞x³的否定是：?x∈（0，2），3^x≤x³；
②若f（x）=2^x-2^-x，则?x∈R，f（-x）=-f（x）；
③若f（x）=x+$\frac{1}{x+1}$，?x₀∈（0，+∞），f（x₀）=1；
④在△ABC中，若A＞B，则sin A＞sin B．
其中真命题是①②④．（将所有真命题序号都填上）

Answer 1

分析 利用命题的否定判断①的正误；函数的奇偶性判断②的正误；方程的解判断③的正误；三角形中碳钢正弦定理判断④的正误；

解答 解：对于①?x∈（0，2），3^x＞x³的否定是：?x∈（0，2），3^x≤x³；满足命题的否定形式，正确；
②若f（x）=2^x-2^-x，则?x∈R，f（-x）=2^-x-2^x=-（2^x-2^-x）=-f（x）；函数是奇函数，正确；
③若f（x）=x+$\frac{1}{x+1}$，x+$\frac{1}{x+1}$=1，可得x²+x+1=x+1，解得x=0，所以?x₀∈（0，+∞），f（x₀）=1；不正确；
④在△ABC中，若A＞B，则sin A＞sin B．在三角形中大角对大边，∵A＞B，∴a＞b，由正弦定理可得
从而a=2RsinA，b=2RsinB，∴2RsinA＞2RsinB，∴sinA＞sinB．所以④正确．
故答案为：①②④．

点评 本题考查命题的真假的判断与应用，考查命题的否定函数的奇偶性，解三角形，是基本知识的考查．