Question

11．已知函数f（x）=（$\frac{1}{3}$x³-x²+$\frac{2}{3}$）cos²⁰¹⁷（$\frac{π}{3}x$+$\frac{2π}{3}$）+2x+3在[-2015，2017]上的最大值为M，最小值为m，则M+m=（　　）

• A． 5
• B． 10
• C． 1
• D． 0

Answer 1

分析 f（x）=$\frac{1}{3}（x-1）[（x-1）^{2}-3]co{s}^{2017}[π+\frac{π}{3}（x-1）]$+2x+3=-$\frac{1}{3}$（x-1）[（x-1）²-3]cos（$\frac{π}{3}（x-1）$）+2（x-1）+5，令g（x）=-$\frac{1}{3}$（x-1）[（x-1）²-3]cos（$\frac{π}{3}（x-1）$）+2（x-1），g（x）+g（2-x）=）═-$\frac{1}{3}$（x-1）[（x-1）²-3]cos（$\frac{π}{3}（x-1）$）+2（x-1）+$\frac{1}{3}$（x-1）[（x-1）²-3]cos（$\frac{π}{3}（x-1）$）+2（1-x）=0，所以函数g（x）的图象关于点（1，0）对称，得M+m=10．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}（x-1）[（x-1）^{2}-3]co{s}^{2017}[π+\frac{π}{3}（x-1）]$+2x+3=-$\frac{1}{3}$（x-1）[（x-1）²-3]cos（$\frac{π}{3}（x-1）$）+2（x-1）+5．
令g（x）=-$\frac{1}{3}$（x-1）[（x-1）²-3]cos（$\frac{π}{3}（x-1）$）+2（x-1），
g（x）+g（2-x）=）═-$\frac{1}{3}$（x-1）[（x-1）²-3]cos（$\frac{π}{3}（x-1）$）+2（x-1）+$\frac{1}{3}$（x-1）[（x-1）²-3]cos（$\frac{π}{3}（x-1）$）+2（1-x）=0，
所以函数g（x）的图象关于点（1，0）对称，
∴函数g（x）在[-2015，2017]上的最大值为M₁，最小值为m₁，M₁+m₁=0．
M=M₁+5，最小值为m=m₁+5．则M+m=10．
故选：B

点评 本题考查了函数对称性质与值域的转化关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．