Question

19．已知a＞0，且a≠1，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{a}）^{x}-1，x≤0}\\{{x}^{2}+（4a-1）x+3a-1，x＞0}\end{array}\right.$在R上单调递增，且关于x的方程|f（x）|=x+1恰有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{1}{3}$，1）
• B． [$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）
• C． （0，$\frac{2}{3}$）
• D． （$\frac{2}{3}$，1）

Answer 1

分析 由题意可知f（x）在两段上均为增函数，且f（x）在（0，+∞）上的最小值大于或等于f（0），作出|f（x）|和y=x+1的图象，根据交点个数判断3a与2的大小关系，列出不等式组解出．

解答 解：∵f（x）是R上的单调递增函数，
∴y=x²+（4a-1）x+3a-1在（0，+∞）上单调递增，y=（$\frac{1}{a}$）^x-1在（-∞，0]上单调递增，
且f（x）在（0，+∞）上的最小值大于或等于f（0）．
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a}＞1}\\{\frac{1-4a}{2}≤0}\\{3a-1≥0}\end{array}\right.$解得$\frac{1}{3}≤a＜1$，
作出y=|f（x）|和y=x+1的函数草图如图所示：
由图象可知|f（x）|=x+1在（-∞，0）上有且只有一解，
∵|f（x）|=x+1恰有两个不相等的实数解，
∴x²+（4a-1）x+3a-1=x+1在（0，+∞）上只有1解，
即x²+（4a-2）x+3a-2=0在（0，+∞）上只有1解，
$\left\{\begin{array}{l}{△=（4a-2）^{2}-4（3a-2）=0}\\{-\frac{4a-2}{2}＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{△=（4a-2）^{2}-4（3a-2）＞0}\\{3a-2＜0}\end{array}\right.$
解得a$＜\frac{2}{3}$．
综上，a的取值范围是：[$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$），
故选：B

点评 本题考查了分段函数的单调性，函数零点的个数判断，结合函数图象判断端点值的大小是关键，属于中档题．