Question

6．已知函数f（x）=1-2sin²x在点$（{\frac{π}{4}，f（{\frac{π}{4}}）}）$处的切线为l，则直线l、曲线f（x）以及直线$x=\frac{π}{2}$所围成的区域的面积为$\frac{π^2}{16}-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 先利用二倍角公式化简函数f（x）的解析式，利用导数求出切线的斜率，然后求出切点的坐标，得出切线的方程，最后根据定积分即可求出直线l、曲线f（x）以及直线x=$\frac{π}{2}$所围成的区域的面积．

解答 解：由f（x）=1-2sin²x=cos2x，
得f′（x）=-2sin2x．
∴f′（$\frac{π}{4}$）=-2sin$\frac{π}{2}$=-2，
又f（$\frac{π}{4}$）=cos$\frac{π}{2}$=0，
∴直线l的方程为y-0=-2（x-$\frac{π}{4}$），即y=-2x+$\frac{π}{2}$．
如图：
∴直线l、曲线f（x）以及直线x=$\frac{π}{2}$所围成的区域的面积为：
${∫}_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}（cos2x+2x-\frac{π}{2}）dx$=（$\frac{1}{2}sin2x+{x}^{2}-\frac{π}{2}x$）${|}_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}$
=$\frac{{π}^{2}}{16}-\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{π^2}{16}-\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，同时考查了定积分，属于中档题．