Question

14．已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，抛物线C₂：y=x²+2，点P是C₂上的动点，过点P作抛物线C₂的切线，交椭圆C₁于A，B两点，
（1）当的斜率是2时，求|AB|
（2）设抛物线C₂的切线方程为y=kx+b，当∠AOB是锐角时，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出直线l的方程，与椭圆方程联立借助韦达定理及弦长公式求弦长|AB|的值．
（2）∠AOB为锐角，针对本题它等价于$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$＞0，确定b=2-$\frac{{k}^{2}}{4}$，y=kx+b代入$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，整理可得（2+k²）x²+4kbx+2b²-2=0，利用韦达定理，即可得出结论．

解答 解：（1）根据l的斜率为2，可知y′=2x=2，∴x=1，
所以P（1，3），所以直线l的方程为y-3=2（x-1），即2x-y+1=0．
与椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1联立，可得9x²+8x=0，
∴x=0或-$\frac{8}{9}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+4}•\frac{8}{9}$=$\frac{8\sqrt{5}}{9}$；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），切点（x₀，y₀），
∠AOB为锐角，针对本题它等价于$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$＞0，
即x₁x₂+y₁y₂＞0，x₁x₂+（kx₁+b）（kx₂+b）＞0，
再根据k=2x₀，∴x₀=$\frac{k}{2}$，y₀=$\frac{{k}^{2}}{4}$+2，
∴$\frac{{k}^{2}}{4}$+2=k•$\frac{k}{2}$+b，
∴b=2-$\frac{{k}^{2}}{4}$，①
y=kx+b代入$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，整理可得（2+k²）x²+4kbx+2b²-2=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{4kb}{2+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{b}^{2}-2}{2+{k}^{2}}$，△＞0②
∴y₁y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）=$\frac{2{b}^{2}-2{k}^{2}}{2+{k}^{2}}$，
∴$\frac{2{b}^{2}-2}{2+{k}^{2}}$+$\frac{2{b}^{2}-2{k}^{2}}{2+{k}^{2}}$＞0③，
由①②③解得b∈（-4-$\sqrt{33}$，$\frac{-4-\sqrt{70}}{3}$）∪（$\frac{-4+\sqrt{70}}{3}$，-4+$\sqrt{33}$）．

点评 本题考查圆锥曲线的综合问题，考查直线与抛物线、椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．