Question

5．如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB=AD=$\sqrt{3}$，若∠A₁AD=∠A₁AB=45°，∠BAD=60°，则点A₁到平面ABCD的距离为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 记A₁在面ABCD内的射影为O，O在∠BAD的平分线上，说明∠BAD的平分线即菱形ABCD的对角线AC，在三角形AA₁O中，求出A₁O即为高．

解答 解：记A₁在面ABCD内的射影为O，
∵∠A₁AB=∠A₁AD，∴O在∠BAD的平分线上，
又AB=AD，∴∠BAD的平分线即菱形ABCD的
对角线AC，故O在AC上；
∵cos∠A₁AB=cos∠A₁AO×cos∠OAB
∴cos∠A₁AO=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴sin∠A₁AO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
在△A₁AO中，AA₁=$\sqrt{3}$
∴点A₁到平面ABCD的距离为A₁O=1．
故选：A．

点评 本题考查几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．解题关键在于正确解三角形．