题目内容

2．某工厂2016年计划生产A、B两种不同产品，产品总数不超过300件，生产产品的总费用不超过9万元．A、B两个产品的生产成本分别为每件500元和每件200元，假定该工厂生产的A、B两种产品都能销售出去，A、B两种产品每件能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该工厂如何分配A、B两种产品的生产数量，才能使工厂的收益最大？最大收益是多少万元？

分析 设工厂生产A、B两种产品分别为x件和y件，总收益为z元，由题意作出约束条件并化简，得到目标函数z=3000x+2000x．作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得答案．

解答 解：设工厂生产A、B两种产品分别为x件和y件，总收益为z元，
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤300}\\{500x+200y≤90000}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，
目标函数z=3000x+2000x．
二元一次不等式组等价于$\left\{\begin{array}{l}x+y≤300\\ 5x+2y≤900\\ x≥0，y≥0\end{array}\right.$．
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图阴影部分．

作直线l：3000x+2000y=0，即3x+2y=0，
平移直线l，从图中可知，当直线过M点时，目标函数取得最大值．
联立$\left\{\begin{array}{l}x+y=300\\ 5x+2y=900\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=100\\ y=200\end{array}\right.$．
∴点的坐标为（100，200），此时zmax=3000×100+2000×200=700000．
∴该工厂生产A产品100件，生产B产品200件时收益最大，最大收益是70万元．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

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