题目内容

10.对某产品1至6月份销售量及其价格进行调查,其售价x和销售量y之间的一组数据如表所示:
月份i123456
单价xi(元)99.51010.5118
销售量yi(件)111086514
(1)根据1至5月份的数据,求解y关于x的回归直线方程;
(2)若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5元,则认为所得到
的回归方程是理想的,试问所得回归方程是否理想?
参考公式:回归直线的方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$,
其中$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-\overline{y})}{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$,$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$.

分析 (1)根据题意,计算$\overline{x}$、$\overline{y}$,求出回归系数$\stackrel{∧}{b}$、$\stackrel{∧}{a}$,写出回归直线方程;
(2)利用回归方程计算x=8时$\stackrel{∧}{y}$的值,再求$\stackrel{∧}{y}$-y的值,即可得出结论.

解答 解:(1)根据题意,计算$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×(9+9.5+10+10.5+11)=10,
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×(11+10+8+6+5)=8.( 2分)
$\sum_{i=1}^{5}$(xi-$\overline{x}$)(yi-$\overline{y}$)=(-1)×3+(-0.5)×2+0+0.5×(-2)+1×(-3)=-8,
$\sum_{i=1}^{5}$${{(x}_{i}-\overline{x})}^{2}$=1+0.25+0+0.25+1=2.5;
∴$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-\overline{y})}{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})^{2}}$=$\frac{-8}{2.5}$=-3.2,
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$=8-(-3.2)×10=40;
∴y关于x的回归直线方程为$\stackrel{∧}{y}$=-3.2x+40;( 8分)
(2)当x=8时,$\stackrel{∧}{y}$=-3.2×8+40=14.4,( 10分)
$\stackrel{∧}{y}$-y=14.4-14=0.4<0.5,
∴所得回归方程是理想的.(12分)

点评 本题考查了线性回归方程的求法与应用问题,是基础题.

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