Question

20．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a=2，$C=\frac{π}{4}$，$cos\frac{B}{2}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，
（1）求sinA；
（2）求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）由已知利用倍角公式可求cosB，利用同角三角函数基本关系式可求sinB，根据三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sinA的值．
（2）由（1）及正弦定理可得b，利用特殊角的三角函数值及三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（1）∵$cos\frac{B}{2}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，$C=\frac{π}{4}$，
∴cosB=2cos²$\frac{B}{2}$-1=$\frac{3}{5}$，sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{4}{5}$，
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（$\frac{3}{5}+\frac{4}{5}$）=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．
（2）∵a=2，sinA=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，sinB=$\frac{4}{5}$，
∴由正弦定理可得：b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{2×\frac{4}{5}}{\frac{7\sqrt{2}}{10}}$=$\frac{8\sqrt{2}}{7}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×2×$$\frac{8\sqrt{2}}{7}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{8}{7}$．

点评 本题主要考查了倍角公式，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理，特殊角的三角函数值及三角形面积公式的应用，考查了转化思想，属于基础题．