Question

5．已知函数f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx．
（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；
（2）当a=1时，求f（x）在$[{\frac{1}{2}，2}]$上的最大值和最小值．
（3）求证：对于大于1的正整数n，ln$\frac{n}{n-1}$＞$\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 （1）f（x）在[1，+∞）上为增函数，等价于$\frac{ax-1}{a{x}^{2}}≥0$即ax-1≥0对x∈[1，+∞）恒成立，分离参数后化为函数的最值即可求解；
（2）先求出函数的导函数以及导数为0的根，进而求出其在[$\frac{1}{2}$，2]上的单调性即可求f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值和最小值．
（3）由（1）知f （x）=$\frac{1-x}{x}+lnx$在[1，+∞）上为增函数，当n＞1时，令x=$\frac{n}{n-1}$，则x＞1，故f （x）＞f （1）=0，即f （$\frac{n}{n-1}$）=$\frac{1-\frac{n}{n-1}}{\frac{n}{n-1}}$+ln$\frac{n}{n-1}$=-$\frac{1}{n}$+ln$\frac{n}{n-1}$＞0即可．

解答 解：（1）解：（Ⅰ）由已知得f′（x）=$\frac{ax-1}{a{x}^{2}}$，
依题意：$\frac{ax-1}{a{x}^{2}}≥0$对x∈[1，+∞）恒成立，即：ax-1≥0对x∈[1，+∞）恒成立，
也即：a$≥\frac{1}{x}$对x∈[1，+∞）恒成立，
∴a$≥（\frac{1}{x}）_{max}$，即a≥1；
（2）（Ⅱ）当a=1时，f'（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$．
当x∈[$\frac{1}{2}$，1）时，f'（x）＜0，故f（x）在x∈[$\frac{1}{2}$，1）上单调递减；
当x∈[1，2]时，f'（x）＞0，f（x）在x∈[1，2]上单调递增．
∴f（x）在x∈[$\frac{1}{2}$，2]上有唯一极小值点，
故f（x）_min=f（x）_极小值=f（1）=0，
又f （$\frac{1}{2}$）-f （2）=$\frac{3}{2}$-2ln2=$\frac{ln{e}^{3}-ln{2}^{4}}{2}$＞0，∴f （$\frac{1}{2}$）＞f （2），∴[f （x）]_max=f （$\frac{1}{2}$）=1-ln2；
（3）由（1）知f （x）=$\frac{1-x}{x}+lnx$在[1，+∞）上为增函数，当n＞1时，令x=$\frac{n}{n-1}$，则x＞1，故f （x）＞f （1）=0，
即f （$\frac{n}{n-1}$）=$\frac{1-\frac{n}{n-1}}{\frac{n}{n-1}}$+ln$\frac{n}{n-1}$=-$\frac{1}{n}$+ln$\frac{n}{n-1}$＞0，∴ln$\frac{n}{n-1}$＞$\frac{1}{n}$

点评 本题考查了导数的综合应用，考查了分离参数法、构造法证明数列不等式，属于难题．