Question

14．在平面四边形ABCD中，已知sin∠ADC=$\frac{4}{5}$，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，|$\overrightarrow{AB}$|=1，|$\overrightarrow{AC}$|=8，求|$\overrightarrow{BD}$|的最大值4$\sqrt{2}$+5 ．

Answer 1

分析 求出△ACD的外接圆半径和圆心，根据点与圆的位置关系即可得出BD的最大值．

解答 解：设△ACD的外接圆半径为r，则2r=$\frac{AC}{sin∠ADC}$=10，
∴r=5．
设△ACD的外接圆圆心为O，则O到AC的距离OM=$\sqrt{{r}^{2}-（\frac{AC}{2}）^{2}}$=3，
以AB，AC为坐标轴建立空间坐标系，则O（-3，4）或O（3，4），
∵D在圆O上，
∴当圆心为（-3，4），且B，O，D三点共线时，BD取得最大值．
∴|BD|的最大值为|OB|+r=$\sqrt{（-3-1）^{2}+{4}^{2}}$+5=4$\sqrt{2}$+5．
故答案为：4$\sqrt{2}$+5．

点评 本题考查了平面向量在几何中的应用，属于中档题．