Question

已知函数f（x）过定点（1，1），且对任意实数x₁，x₂∈R都有f（x₁+x₂）=1+f（x₁）+f（x₂）．
（Ⅰ）证明数列{f（

1

2n

）+1}（n∈N^*）为等比数列；
（Ⅱ）若记数列{

1

f(n)

）（n∈N^*）为{b_n}，其前n项和为T_n．若不等式T_2n-T_n＞

6

35

log₂（x+1）（n≥2，n∈N^*）恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,等比关系的确定

专题：函数的性质及应用,等差数列与等比数列,不等式

分析：（Ⅰ）令x₁=x₂=

1

2n

．根据f（x₁+x₂）=1+f（x₁）+f（x₂）．得到f（

1

2n

）+1=

1

2

[f（

1

2n-1

）+1]，求出f（

1

2

）+1=1，问题得以证明，
（Ⅱ）由（Ⅰ）求得f（n）=2n-1，再利用放缩法，求得T_2n-T_n＞

n

4n-1

＞

2

7

，n≥2，n∈N^*，再由题意log₂（x+1）＜

5

3

，解得x的即可

解答： 解：（Ⅰ）令x₁=x₂=

1

2n

．
则f（

1

2n

+

1

2n

）=f（

1

2n-1

）=1+f（

1

2n

）+f（

1

2n

）=1+2f（

1

2n

），
∴f（

1

2n-1

）+1=2[f（

1

2n

）+1]，
∴f（

1

2n

）+1=

1

2

[f（

1

2n-1

）+1]，
令x₁=x₂=

1

2

，
则f（1）=1+2f（

1

2

）．
∵函数f（x）过定点（1，1），
∴f（1）=1，
∴f（

1

2

）=0，
∴f（

1

2

）+1=1，
∴数列{f（

1

2n

）+1}（n∈N^*）是以1为首项，以

1

2

为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（

1

2n

）+1=(

1

2

)n-1，
即f（

1

2n

）=(

1

2

)n-1-1，
令x=

1

2n

，
∴f（x）=2x-1，
∴f（n）=2n-1，
∴b_n=

1

f(n)

=

1

2n-1

，
∴T_n=1+

1

3

+

1

5

+…+

1

2n-1

，T_2n=1+

1

3

+

1

5

+…+

1

2n-1

+

1

2n+1

+

1

2n+3

+…+

1

4n-1

，
∴T_2n-T_n=

1

2n+1

+

1

2n+3

+…+

1

4n-1

＞

1

4n-1

+

1

4n-1

+…+

1

4n-1

=

n

4n-1

＞

2

7

，
∵不等式T_2n-T_n＞

6

35

log₂（x+1）（n≥2，n∈N^*）恒成立
∴

2

7

＞

6

35

log₂（x+1）恒成立，
即log₂（x+1）＜

5

3

=log₂

25

9

，
∴0＜x+1＜

25

9

，
解得-1＜x＜

16

9

故实数x的取值范围为（-1，

16

9

）

点评：本题考查了数列和函数的关系，以及等比数列的定义通项问题，以及利用放缩法证明不等式恒成立的问题，考查了学生的对知识的运用能力，计算能力，转化能力，本题综合性强，属于难题