Question

已知椭圆C₁：

x2

a

+

y2

9

=1与抛物线C₂：y=x²-b
（1）若抛物线C₂经过椭圆C₁的焦点，且两曲线恰有三个不同的交点，求椭圆C₁与抛物线C₂的方程；
（2）当实数a，b满足什么关系式，椭圆C₁与抛物线C₂有四个不同的交点？并证明这四个交点共圆．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据题意得出焦点为：F₁（-

a-9

，0），F₂（

a-9

，0），（0，-3）在抛物线上，可代入求解即可．
（2）得出椭圆C₁与抛物线C₂有四个不同的交点，

-b＜-3 ( a) 2-b＞0

即a＞b＞3，利用圆内接四边形的性质证明即可．

解答： 解：（1）抛物线C₂：y=x²-b，椭圆C₁：

x2

a

+

y2

9

=1，
∵抛物线C₂经过椭圆C₁的焦点，且两曲线恰有三个不同的交点，
∴可判断：焦点为：F₁（-

a-9

，0），F₂（

a-9

，0），（0，-3）在抛物线上，
∴-3=0-b，
即b=3，
（

a-9

）²-3=0，a=12，
∴椭圆C₁

x2

12

+

y2

9

=1，抛物线C₂的方程为：y=x²-3，
（2）∵椭圆C₁与抛物线C₂有四个不同的交点，
∴

-b＜-3 ( a) 2-b＞0

即a＞b＞3，
当a＞b＞3时，椭圆C₁与抛物线C₂有四个不同的交点，

根据对称性可知，四边形ABDC为等腰梯形，
AB∥CD，
∴∠A+∠C=180°，
∠A=∠B，∠C=∠D，
∴∠A+∠D=180°，
对角互补
∴四边形ABDC为圆内接四边形，
∴A，B，C，D四点共圆．

点评：本题综合考查了直线与圆锥曲线的位置关系，方程的求解与运用，属于综合题，难度较大．