Question

设a，b∈R，定义在区间（b，3b-a）上的函数f（x）=

2x+ a 2

2x+1

是奇函数，
（1）求b的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并证明之；
（3）解关于x的不等式：f（2^x-

1

2

）+f（

1

4

）＜f（0）．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的定义和性质即可求b的值；
（2）利用指数函数的单调性即可判断函数f（x）的单调性；
（3）根据函数的奇偶性和单调性将不等式进行化简即可得到结论．

解答： 解：（1）∵函数是定义在区间（b，3b-a）上的奇函数，
∴f（0）=0，b+3b-a=4b-a=0，
则f（0）=

1+ a 2

2

=0，即1+

a

2

=0，解得a=-2．
则b=-

1

2

．
（2）∵a=-2．
∴f（x）=

2x+ a 2

2x+1

=

2x-1

2x+1

，定义域为（-

1

2

，

1

2

），
则f（x）为增函数：
证明：f（x）=

2x-1

2x+1

=

2x+1-2

2x+1

=1-

2

2x+1

，
∵当x∈（-

1

2

，

1

2

）时，2^x+1为增函数，

2

2x+1

为减函数，则-

2

2x+1

为增函数，
∴1-

2

2x+1

为增函数，即f（x）为增函数．
（3）∵f（0）=0，
∴不等式：f（2^x-

1

2

）+f（

1

4

）＜f（0）等价为不等式f（2^x-

1

2

）＜-f（

1

4

）=f（-

1

4

）．
∵f（x）在（-

1

2

，

1

2

）为增函数，
∴

2x- 1 2 ＜- 1 4 - 1 2 ＜2x- 1 2 ＜ 1 2

，即

2x＜ 1 4 0＜2x＜1

，
则

x＜-2 x＜0

，解得x＜-2．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，综合性较强．利用函数奇偶性的定义和性质是解决本题的关键．