Question

设f（x）=（x+1）ln（x+1）-ax²-x（a∈R）
（Ⅰ）若a=0求函数f（x）的极值点及相应的极值；
（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）a=0时，f（x）=（x+1）ln（x+1）-x，从而f′（x）=ln（x+1），当x＞0时，f′（x）＞0，x＜0时，f′（x）＜0，于是x=0是函数的极小值点，相应的极小值为f（0）=0．
（Ⅱ）f′（x）=ln（x+1）-2ax，设m（x）=f′（x），则m′（x）=

1

x+1

-2a=

-2ax+1-2a

x+1

，分情况讨论①当a≤0时，②当a＜0时从而综合得出结论．

解答： 解（Ⅰ）a=0时，f（x）=（x+1）ln（x+1）-x，
∴f′（x）=ln（x+1），
当x＞0时，f′（x）＞0，x＜0时，f′（x）＜0，
∴x=0是函数的极小值点，相应的极小值为f（0）=0；
（Ⅱ）f′（x）=ln（x+1）-2ax，
  设m（x）=f′（x），
则m′（x）=

1

x+1

-2a=

-2ax+1-2a

x+1

，
①当a≤0时，m′（x）＞0则m（x）=f′（x）在（0，+∞）上为增函数，
∴f′（x）＞f′（0）=0，
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数，
∴f（x）＞f（0）=0与f（x）＜0恒成立矛盾．
②当a＜0时，m′（x）=-2a

x- 1-2a 2a

x+1

，
若1-2a≤0即a≥

1

2

时，m^″（x）＜0，
则m（x）=f′（x）在（0，+∞）上为减函数，
∴f′（x）＜f′（0）=0，
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数，
∴f（x）＜f（0）=0满足题意．
若1-2a＞0，即0＜a＜

1

2

时，若x∈（0，

1-2a

2a

），则m′（x）＞0
则m（x）=f′（x）在（0，

1-2a

2a

）上为增函数，
从而有f′（x）＞f′（0）=0，
∴f（x）在（0，

1-2a

2a

）上为增函数，
∴f（x）＞f（0）=0与f（x）＜0恒成立矛盾．
综上所述，实数a的取值范围．是[

1

2

，+∞）．

点评：本题考察了利用导数研究函数的单调性，函数的最值问题，不等式恒成立问题，本题是一道综合题．