Question

3．已知等边△ABC中，D、E分别是CA、CB的中点，以A、B为焦点且过D、E的椭圆和双曲线的离心率分别为e₁、e₂，则下列关于e₁、e₂的关系式不正确的是（　　）

• A． e₁+e₂=2$\sqrt{3}$
• B． e₁-e₂=2
• C． e₁e₂=2
• D． $\frac{e_2}{e_1}＞2$

Answer 1

分析 利用椭圆、双曲线的定义，结合离心率公式，分别求出椭圆和双曲线的离心率，即可得出结论．

解答 解：设正三角形的边长为m，则
椭圆中焦距2c=AB=m，2a=DA+DB=$\frac{m}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}m$
∴椭圆的离心率e₁=$\sqrt{3}$-1；
双曲线中2c′=AB=m，2a′=DB-DA=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$m，
∴双曲线的离心率e₂=$\sqrt{3}$+1，
∴e₂+e₁=2$\sqrt{3}$，e₂e₁=2，$\frac{{e}_{2}}{{e}_{1}}$＞2．
故选B．

点评 本题考查椭圆、双曲线的定义，考查椭圆、双曲线的离心率，正确运用定义是关键．