Question

15．数列{a_n}中，a₁=1，a₂=$\frac{1}{3}$，a_n=$\frac{2}{{{a_{n-1}}}}$-$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}$（n≥2），则a₆a₇=-$\frac{24057}{9607}$．

Answer 1

分析 由已知条件利用递推思想依次求出数列的前7项，由此能求出结果．

解答 解：∵数列{a_n}中，a₁=1，a₂=$\frac{1}{3}$，a_n=$\frac{2}{{{a_{n-1}}}}$-$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}$（n≥2），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{2}{{a}_{n-1}}-{a}_{n}$，
∴$\frac{1}{{a}_{3}}$=$\frac{2}{{a}_{1}}-{a}_{2}$=$\frac{2}{1}-\frac{1}{3}$=$\frac{5}{3}$，∴${a}_{3}=\frac{3}{5}$，
$\frac{1}{{a}_{4}}=\frac{2}{{a}_{2}}-{a}_{3}=\frac{2}{\frac{1}{3}}-\frac{3}{5}$=$\frac{27}{5}$，∴${a}_{4}=\frac{5}{27}$，
$\frac{1}{{a}_{5}}=\frac{2}{{a}_{3}}-{a}_{4}$=$\frac{2}{\frac{3}{5}}-\frac{5}{27}$=$\frac{85}{27}$，∴${a}_{5}=\frac{27}{85}$，
$\frac{1}{{a}_{6}}=\frac{2}{{a}_{4}}-{a}_{5}=\frac{2}{\frac{5}{27}}-\frac{27}{85}$=$\frac{891}{85}$，∴${a}_{6}=\frac{891}{85}$，
$\frac{1}{{a}_{7}}$=$\frac{2}{{a}_{5}}-{a}_{6}$=$\frac{2}{\frac{27}{85}}-\frac{891}{85}$=-$\frac{9607}{2295}$，∴${a}_{7}=-\frac{2295}{9607}$，
a₆a₇=$\frac{891}{85}×（-\frac{2295}{9607}）$=-$\frac{24057}{9607}$．
故答案为：-$\frac{24057}{9607}$．

点评 本题考查数列的第6项与第7项的乘积，是基础题，解题时要认真审题，注意递推思想的合理运用．