Question

已知函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx是偶函数．
（1）求实数k的值；
（2）若关于x的方程f（x）=m有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数的零点

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx是偶函数，可得f（-1）=f（1）．解出即可．
（2）利用函数单调性、偶函数的性质即可得出．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx是偶函数，
∴f（-1）=f（1）．
∴log₄5+k=log4

5

4

-k，
化为2k=-1，解得k=-

1

2

．
∴f（x）=log₄（4^x+1）-

1

2

x．
经过验证满足偶函数的定义．
（2）f^′（x）=

4x

4x+1

-

1

2

=

4x-1

2(4x+1)

．
当x≥0时，f^′（x）≥0，
∴当x≥0时，函数f（x）单调递增，而函数f（x）又为偶函数．
∴f（x）≥f（0）=0．
∴当m≥0时，关于x的方程f（x）=m有解，
∴实数m的取值范围是m≥0．

点评：本题考查了函数单调性、奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．