Question

若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x₁，x₂∈R有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+1，则下列说法一定正确的是（　　）

• A、f（x）-1是奇函数
• B、f（x）-1是偶函数
• C、f（x）+1是奇函数
• D、f（x）+1是偶函数

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：对任意x₁，x₂∈R有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+1，考察四个选项，本题要研究函数的奇偶性，故对所给的x₁，x₂∈R有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+1进行赋值研究即可

解答： 解：∵对任意x₁，x₂∈R有
f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+1，
∴令x₁=x₂=0，得f（0）=-1
∴令x₁=x，x₂=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）+1，
∴f（x）+1=-f（-x）-1=-[f（-x）+1]，
∴f（x）+1为奇函数．
故选C

点评：本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．