Question

已知函数f（x）=ax-

a

x

-2lnx．（a∈R）
（1）若a=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若a＞0且函数f（x）在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；
（3）若函数y=f（x）在x∈（0，3）存在极值，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出导数，求出切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；
（2）求出导数，由题意得，f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，即f'（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，即ax²-2x+a≥0在（0，+∞）上恒成立． 方法一、运用分离参数，运用基本不等式求出最大值即可；
方法二、运用二次函数的知识求出最小值即可；
（3）求出导数，令导数为0，可设L（x）=ax²-2x+a，x∈（0，3），方法一、讨论当a=0时，方程（*）的解为x=0，此时f（x）在x∈（0，3）无极值，再讨论a≠0的二次方程在（0，3）内的根只有一个，两个，求出a 的范围；方法二、运用参数分离，运用基本不等式求出最值即可判断．

解答： 解：（1）若a=2，f(x)=2x-

2

x

-2lnxf′(x)=2+

2

x2

-

2

x

，
则直线斜率k=f'（1）=2，切点为（1，0），
所以曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程：2x-y-2=0；
（2）f′(x)=a+

a

x2

-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

，
∵f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，
∴f'（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，
即ax²-2x+a≥0在（0，+∞）上恒成立．  
（法一）即a≥

2x

x2+1

在（0，+∞）上恒成立
∴a≥(

2x

x2+1

)max，设M(x)=

2x

x2+1

，(x＞0)，
则M(x)=

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

，
∵x＞0，∴x+

1

x

≥2，当且仅当x=1时取等号，
∴M（x）≤1，即[M（x）]_max=1，∴a≥1
所以实数a的取值范围是[1，+∞）
（法二）令h（x）=ax²-2x+a，
∵f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，∴f'（x）≥0在（0，+∞）内恒成立．
由题意a＞0，h（x）=ax²-2x+a的图象为开口向上的抛物线，
对称轴方程为x=

1

a

∈(0，+∞)，∴h(x)min=a-

1

a

，
∴a-

1

a

≥0，解得a≥1
∴实数a的取值范围是[1，+∞）．
（3）（法一）∵f′(x)=

ax2-2x+a

x2

，令f'（x）=0即ax²-2x+a=0（*）
设L（x）=ax²-2x+a，x∈（0，3），
当a=0时，方程（*）的解为x=0，此时f（x）在x∈（0，3）无极值，
所以a≠0；
当a≠0时，L（x）=ax²-2x+a的对称轴方程为x=

1

a

，
①若f（x）在x∈（0，3）恰好有一个极值
则

a＞0 L(3)=10a-6≤0

或

a＜0 L(3)=10a-6≥0

，解得0＜a≤

3

5

此时f（x）在x∈（0，3）存在一个极大值；
②若f（x）在x∈（0，3）恰好两个极值，即h（x）=0在x∈（0，3）有两个不等实根
则

a＞0 △=4-4a2＞0 0＜ 1 a ＜3 L(3)＞0

或

a＜0 △=4-4a2＞0 0＜ 1 a ＜3 L(3)＜0

，解得

3

5

＜a＜1，
综上所述，当0＜a＜1时，y=f（x）在x∈（0，3）存在极值．  
（法二）∵f′(x)=

ax2-2x+a

x2

，令f'（x）=0即ax²-2x+a=0（*）
由a（x²+1）=2x得 a=

2x

x2+1

，
令L(x)=

2x

x2+1

，x∈（0，3），即L(x)=

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

≤1，
当且仅当x=1时等号成立．
∵L(x)=

2x

x2+1

＞0
∴L（x）∈（0，1]，
又∵a=1时，f′(x)=

x2-2x+1

x2

≥0在x∈（0，3）上恒成立，
∴a=1不满足条件，
∴当0＜a＜1时，y=f（x）在x∈（0，3）存在极值．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程、求单调区间和极值，考查分类讨论的思想方法，函数和方程的转化思想，同时考查运算能力，属于中档题．