Question

4．已知f（x）=（x-a）（x-3a）（其中a＞0），g（x）=x²+1；条件p：实数x满足f（x）＜0；条件q：实数x满足4＜g′（x）≤6．
（1）若a=1，且“p∧q”为真，求实数x的取值范围；
（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若a=1，求出命题p，q的等价条件，利用p∧q为真，则p，q为真，即可求实数x的取值范围；
（2）求出命题p，q的等价条件，利用q是p的充分不必要条件，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）若a=1，不等式为（x-a）（x-3a）＜0为（x-1）（x-3）＜0，
即1＜x＜3，即p：1＜x＜3，
由4＜g′（x）≤6．
得4＜2x≤6．
则2＜x≤3，即q：2＜x≤3，
若p∧q为真，则p，q同时为真，
即$\left\{\begin{array}{l}{1＜x＜3}\\{2＜x≤3}\end{array}\right.$得1＜x＜3，
即实数x的取值范围是1＜x＜3．
（2）由f（x）=（x-a）（x-3a）＜0得a＜x＜3a，即p：a＜x＜3a
若q是p的充分不必要条件，则q⇒p且p⇒q不成立，
即$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{3a＞3}\end{array}\right.$，即1＜a≤2，
所以实数a的取值范围是1＜a≤2．

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及不等式的求解，利用不等式的解法时解决本题的关键．