Question

18．定义在R上的可到函数f（x）满足：对任意x∈R有f（x）+f（-x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$，且在区间[0，+∞）上有2f′（x）＞x，若f（a）-f（2-a）≥a-1，则实数a的取值范围为a≥1．

Answer 1

分析 令g（x）=2f（x）-$\frac{1}{2}$x²，求出函数的导数，结合函数的奇偶性求出函数的单调性，所求不等式转化为g（a）＞g（2-a），根据函数的单调性解出即可．

解答 解：令g（x）=2f（x）-$\frac{1}{2}$x²，
则g′（x）=2f′（x）-x，
∵在区间[0，+∞）上有2f′（x）＞x，
∴g（x）在（0，+∞）递增，
∵f（x）+f（-x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$，
∴g（x）+g（-x）=0，
∴g（x）是奇函数，
∴g（x）在R递增，
若f（a）-f（2-a）≥a-1，
则g（a）-g（2-a）≥0，
即g（a）≥g（2-a），
∴a≥2-a，
∴a≥1，
故答案为：a≥1．

点评 本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．