Question

6．已知A、B、C为△ABC的内角，tanA、tanB是关于x的方程x²+$\sqrt{3}$mx-m+1=0的两个实根．
（1）求C的大小；
（2）若AB=$\sqrt{6}$，AC=2，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）利用韦达定理，两角和的正切公式，求得 tan（A+B） 的值，可得 A+B的值，从而求得C的值．
（2）利用正弦定理以及大边对大角求得B的值，可得A的值，从而求得△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$•AB•AC•sinA 的值．

解答 解：（1）由题意可得tanA+tanB=-$\sqrt{3}$m，tanA•tanB=1-m，∴tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=-$\sqrt{3}$，
∴在△ABC中，A+B=$\frac{2π}{3}$，∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）若AB=$\sqrt{6}$，AC=2，由正弦定理可得$\frac{\sqrt{6}}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{2}{sinB}$，∴sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
再根据AC＜AB，大边对大角可得 B＜C，∴B=$\frac{π}{4}$，∴A=$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{12}$，
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}•\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$，
故△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$•AB•AC•sinA=$\frac{1}{2}•\sqrt{6}•\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$=$\frac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题主要考查韦达定理，两角和的正切公式，诱导公式，三角形的面积公式，属于基础题．