Question

3．[重点中学做]设H、P是△ABC所在平面上异于A、B、C的两点，用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{h}$分别表示向量$\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{PB}$，$\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{PH}$．已知$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{h}$=$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{h}$=$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{h}$，|$\overrightarrow{AH}$|=1，|$\overrightarrow{BH}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{3}$，则∠C=（　　）

• A． $\frac{5π}{12}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 根据向量数量积的公式和条件进行化简得到H是△ABC的垂心，结合三角形的边角关系进行求解即可．

解答 解：由题意知$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PH}$=$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PH}$，
即$\overrightarrow{PB}$•（$\overrightarrow{PA}$-$\overrightarrow{PC}$）+$\overrightarrow{PH}$•（$\overrightarrow{PC}$-$\overrightarrow{PA}$）=0，即$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{HB}$=0．
同理得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{HC}$=0，故H是△ABC的垂心，
设∠CAD=∠CBE=θ，则DH=$\sqrt{2}$sinθ，BD=$\sqrt{2}$cosθ，DC=tanθ（1+$\sqrt{2}$sinθ）=$\frac{sinθ+\sqrt{2}sin^2θ}{cosθ}$，
∴BD+DC=$\sqrt{2}$cosθ+$\frac{sinθ+\sqrt{2}sin^2θ}{cosθ}$=$\sqrt{3}$，
整理得$\sqrt{3}$cosθ-sinθ=$\sqrt{2}$，即cos（θ+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则θ+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{4}$，即θ=$\frac{π}{12}$，则C=$\frac{5π}{12}$，
故选：A．

点评 本题主要考查向量数量积的应用，根据条件判断H是△ABC的垂心是解决本题的关键．综合性较强，考查学生的转化和运算能力．