Question

10．如图所示，四边形ABCD中，AB=AD=2，△BCD为正三角形，设∠BAD=α（α∈（0，π））．
（1）当α=$\frac{π}{2}$时，求$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$的值；
（2）[重点中学做]当α为多少时，△ABC的面积S最大？并求S的最大值．
（3）[普通中学做]记△BCD的面积S=f（α），求函数g（α）=f（α）-2sinα的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据向量数量积的公式进行计算即可，
（2）根据三角形的面积公式，结合三角函数辅助角公式进行化简，结合三角形的图象和性质进行求解即可．
（3）根据三角形的面积公式，结合三角函数辅助角公式进行化简，结合三角形的图象和性质进行求解即可．

解答 解：（1）设AC∩BD=0，则O是BD的中点，且AC⊥BD，
当α=$\frac{π}{2}$时，AO=$\sqrt{2}$，OC=$\sqrt{6}$，
则$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}$•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\overrightarrow{AC}$²-$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{2}+\sqrt{6}$）²-（$\sqrt{2}+\sqrt{6}$）•$\sqrt{2}$=2$\sqrt{3}$+6．
（2）由题意得BC=BD=4sin$\frac{α}{2}$，
则S=$\frac{1}{2}$AB•BCsin∠ABC=$\frac{1}{2}×2×4$sin$\frac{α}{2}$•sin（$\frac{π}{6}$+$\frac{α}{2}$）=4sin$\frac{α}{2}$•sin（$\frac{π}{6}$+$\frac{α}{2}$）=4sin$\frac{α}{2}$•（sin$\frac{π}{6}$cos$\frac{α}{2}$+cos$\frac{π}{6}$sin$\frac{α}{2}$）=4sin$\frac{α}{2}$•（$\frac{1}{2}$cos$\frac{α}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{α}{2}$）
=2sin$\frac{α}{2}$cos$\frac{α}{2}$+2$\sqrt{3}$sin²$\frac{α}{2}$=sinα+$\sqrt{3}$（1-cosα）=2sin（α-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$，
∵0＜α＜π，∴-$\frac{π}{3}$＜α-$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴当α-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即α=$\frac{5π}{6}$时，S取得最大值，此时S=2+$\sqrt{3}$．
（3）由题意得BC=BD=4sin$\frac{α}{2}$，
S=f（α）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（4sin$\frac{α}{2}$）²=4$\sqrt{3}$•$\frac{1-cosα}{2}$=-2$\sqrt{3}$cosα+2$\sqrt{3}$，
则g（α）=-2$\sqrt{3}$cosα+2$\sqrt{3}$-2sinα=-4sin（α+$\frac{π}{3}$）+2$\sqrt{3}$，
∵0＜α＜π，∴$\frac{π}{3}$＜α+$\frac{π}{3}$＜$\frac{4π}{3}$，
∴当α+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即α=$\frac{π}{6}$时，g（α）取得最小值，
故g（α）=f（α）-2sinα的最小值为g（$\frac{π}{6}$）=2$\sqrt{3}$-4．

点评 本题主要考查向量数量积与三角函数的综合应用，根据向量数量积的公式以及辅助角公式进行化简是解决本题的关键．考查学生的运算能力．