Question

4．在△ABC中，已知点D为AB边的中点，点N在线段CD上，且$\overrightarrow{CN}$=2$\overrightarrow{ND}$，若$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$+λ$\overrightarrow{AB}$，则λ=（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． -$\frac{1}{3}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． -$\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 根据题意画出图形，结合图形用向量$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{AN}$即可．

解答 解：如图所示，

△ABC中，点D为AB边的中点，∴$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$；
又点N在线段CD上，且$\overrightarrow{CN}$=2$\overrightarrow{ND}$，
∴$\overrightarrow{CN}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CD}$=$\frac{2}{3}$×（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$；
∴$\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow{CN}$-$\overrightarrow{CA}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$，
又$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$+λ$\overrightarrow{AB}$，
∴λ=$\frac{1}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查了平面向量的线性表示以及平面向量基本定理的应用问题，是基础题目．