Question

3．已知A、B为椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1和双曲线$\frac{x^2}{4}-{y^2}$=1的公共顶点，P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于两点A、B的动点，且有$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=λ（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{QB}$）（λ∈R，|λ|＞1），设直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为k₁、k₂、k₃、k₄，则k₁+k₂+k₃+k₄的值（　　）

• A． 大于0
• B． 等于0
• C． 小于0
• D． 大于0，等于0，小于0都有可能

Answer 1

分析 设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），利用斜率公式得到k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$+$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$=$\frac{{x}_{1}}{2{y}_{1}}$；同理可得k₃+k₄=-$\frac{{x}_{2}}{2{y}_{2}}$，结合O、P、Q三点共线即可得出k₁+k₂+k₃+k₄的值．

解答 解：由题意，O、P、Q三点共线．
设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），
点P在双曲线$\frac{x^2}{4}-{y^2}$=1上，有x₁²-4=4y₁²．
所以k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$+$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$=$\frac{{x}_{1}}{2{y}_{1}}$．    ①
又由点Q在椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1上，有x₂²-4=-2y₂²．
同理可得k₃+k₄=-$\frac{{x}_{2}}{2{y}_{2}}$②
∵O、P、Q三点共线．
∴$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}$=$\frac{{x}_{2}}{{y}_{2}}$．
由①、②得k₁+k₂+k₃+k₄=0．
故选B．

点评 本小题主要考查椭圆的几何性质、双曲线的几何性质、圆锥曲线的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．