Question

12．已知函数f（x）=x³-px²-qx的图象与x轴切于（1，0）点，则f（x）在[-1，1]的最大值、最小值分别为（　　）

• A． 0，-4
• B． $\frac{4}{27}$，-4
• C． $\frac{4}{27}$，0
• D． 2，0

Answer 1

分析 因为f（x）与x轴相切且切点为（1，0）则（1，0）代入到f（x）中得到p+q=1；又因为相切时函数与x轴只有一个交点即根的判别式=0得p²+4q=0，解出p、q的值确定出f（x），求出函数的单调区间，从而求出f（x）的最大值和最小值即可．

解答 解：由函数f（x）=x³-px²-qx的图象与x轴切于点（1，0）得：
p+q=1，p²+4q=0．解出p=2，q=-1
则函数f（x）=x³-2x²+x
则f′（x）=3x²-4x+1令其=0得到：x=1或x=$\frac{1}{3}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜$\frac{1}{3}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{3}$＜x＜1，
故f（x）在[-1，$\frac{1}{3}$）递增，在（$\frac{1}{3}$，1]递减，
故f（x）的最大值是f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{4}{27}$，
而f（-1）=-4，f（1）=0，
故f（x）的最小值是-4，
故选：B．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．