Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0．当x＞0时，有f（x）＞xf′（x）恒成立，则不等式x²f（x）＜0的解集为

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：首先根据商函数求导法则，把 有

xf′(x)-f(x)

x2

＜0化为[

f(x)

x

]′＜0恒成立，；然后利用导函数的正负性，可判断函数y=

f(x)

x

在（0，+∞）内单调递减；再由f（2）=0，易得f（x）在（0，+∞）内的正负性；最后结合奇函数的图象特征，可得f（x）在（-∞，0）内的正负性．则x²f（x）＜0?f（x）＜0的解集即可求得．

解答： 解：∵当x＞0时，有

xf′(x)-f(x)

x2

＜0恒成立，即[

f(x)

x

]′＜0恒成立，
∴

f(x)

x

在（0，+∞）内单调递减，
∵f（2）=0，
∴在（0，2）内恒有f（x）＞0；在（2，+∞）内恒有f（x）＜0．
又∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴在（-∞，-2）内恒有f（x）＞0；在（-2，0）内恒有f（x）＜0．
又不等式x²f（x）＜0的解集，即不等式f（x）＜0的解集，
故答案为：（-2，0）∪（2，+∞）．

点评：本题主要考查函数求导法则及函数单调性与导数的关系，同时考查了奇偶函数的图象特征．