Question

函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），且关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），在直线x=m，x=m+6，y=0，y=c围成的矩形内任意取一点P，则P点落在y=f（x）与y=c围成的封闭区域内的概率为

 

．

Answer 1

考点：定积分在求面积中的应用

专题：综合题,概率与统计

分析：根据函数的值域求出a与b的关系，然后根据不等式的解集可得f（x）=c的两个根为m，m+6，最后利用根与系数的关系建立等式，求出c，再以面积为测度，即可求出概率．

解答： 解：∵函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），
∴f（x）=x²+ax+b=0只有一个根，即△=a²-4b=0则b=

a2

4

，
不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），
即为x²+ax+

a2

4

＜c解集为（m，m+6），
则x²+ax+

a2

4

-c=0的两个根为m，m+6
∴|m+6-m|=

a2-4( a2 4 -c)

=6
解得c=9．
对于抛物线f（x）=x²+ax+b（a，b∈R），不论a，b取何值，图形形状不变，所围成的面积为一定值，故令f（x）=x²，则

∫

3 -3

x2dx=18，y=f（x）与y=c围成的封闭区域的面积为36，
∵直线x=m，x=m+6，y=0，y=c围成的矩形的面积为54，
∴所求的概率为

36

54

=

2

3

．
故答案为：

2

3

．

点评：本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，考查几何概型，同时考查了分析求解的能力和计算能力，属于中档题．