Question

已知△ABC中，2sinA-sinC=cosC•tanB．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设向量

m

=（cosA，cos2A），

n

=（-

12

5

，1），当

m

•

n

取最小值时，求tan（A-B+

π

12

）的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（I）将已知中的“切”化“弦”，逆用两角和的正弦及诱导公式可求得cosB=

1

2

，从而可知角B的大小；
（Ⅱ）利用向量的数量积公式得到关于cosA的二次函数，配方得到当

m

•

n

取最小值时的cosA，从而求出tanA，继续利用两角差的正切公式求解．

解答： 解：（I）∵2sinA-sinC=cosCtan B，
∴2sinAcosB=sinCcosB+coCsinB，
∴2sinAcosB=sin（B+C）=sin（π-A）=sinA．
∵0＜A＜π，∴sinA≠0，∴cosB=

1

2

，
∵0＜b＜π，∴B=

π

3

．
（Ⅱ）∵向量

m

=（cosA，cos2A），

n

=（-

12

5

，1），

m

•

n

=-

12

5

cosA+2cos2A-1=2(cosA-

3

5

)2-

43

25

．
∴当cosA=

3

5

时，

m

•

n

取得最小值，此时sinA=

4

5

（0＜a＜π），于是tanA=

4

3

，
∴tan（A+

π

12

-B）=tan（A-

π

4

）=

tanA-1

tanA+1

=

1

7

．

点评：本题考查了三角恒等变形与向量的数量积的运算以及二次函数相结合的问题，属于中档题．