题目内容
已知函数f（x）=aln（x+1）-x2，在区间（0，1）内任取两个实数p，q，且p≠q，若不等式
＞1恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
| f(p+1)-f(q+1) |
| p-q |
| A、[11，+∞） |
| B、[13，+∞） |
| C、[15，+∞） |
| D、[17，+∞） |
考点：利用导数研究函数的单调性
专题：导数的综合应用
分析：由
＞1的几何意义：得到直线的斜率，然后，得到函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1，从而得到f′（x）在（1，2）内恒成立．
分离参数后转化为a＞2x2+3x+1在（1，2）内恒成立．从而求出a的范围．
| f(p+1)-f(q+1) |
| p-q |
分离参数后转化为a＞2x2+3x+1在（1，2）内恒成立．从而求出a的范围．
解答：
解：∵
＞1的几何意义为：
表示点（p+1，f（p+1）） 与点（q+1，f（q+1））连线的斜率，
∵实数p，q在区间（0，1）内，故p+1 和q+1在区间（1，2）内．
不等式
＞1恒成立，
∴函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1，
故函数的导数大于1在（1，2）内恒成立．
由函数的定义域知，x＞-1，
∴f′（x）=
＞1 在（1，2）内恒成立．
即 a＞2x2+3x+1在（1，2）内恒成立．
由于二次函数y=2x2+3x+1在[1，2]上是单调增函数，
故 x=2时，y=2x2+3x+1在[1，2]上取最大值为15，
∴a≥15
∴a∈[15，+∞）．
故选C．
| f(p+1)-f(q+1) |
| p-q |
表示点（p+1，f（p+1）） 与点（q+1，f（q+1））连线的斜率，
∵实数p，q在区间（0，1）内，故p+1 和q+1在区间（1，2）内．
不等式
| f(p+1)-f(q+1) |
| p-q |
∴函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1，
故函数的导数大于1在（1，2）内恒成立．
由函数的定义域知，x＞-1，
∴f′（x）=
| a |
| x+1 |
即 a＞2x2+3x+1在（1，2）内恒成立．
由于二次函数y=2x2+3x+1在[1，2]上是单调增函数，
故 x=2时，y=2x2+3x+1在[1，2]上取最大值为15，
∴a≥15
∴a∈[15，+∞）．
故选C．
点评：本题重点考查导数的应用，函数的几何性质等知识，注意分离参数在求解中的灵活运用，属于中档题．
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