Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=a＞0，数列{b_n}满足b_n=a_n•a_n+1
（1）若{a_n}为等比数列，求{b_n}的前n项的和s_n；
（2）若b_n=3ⁿ，求数列{a_n}的通项公式；
（3）若b_n=n+2，求证：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＞2

n+2

-3．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）分a=1和a≠1求出等比数列{a_n}的通项公式，进一步求得{b_n}是等比数列，则其前n项和s_n可求；
（2）把b_n=3ⁿ代入b_n=a_n•a_n+1，然后分n为奇数和偶数得到数列{a_n}的偶数项和奇数项为等比数列，由等比数列的通项公式得答案；
（3）由b_n=n+2得到a_na_n+1=n+2，进一步得到an+1-an-1=

1

an

，代入

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

整理后利用基本不等式证得结论．

解答： （1）解：由a₁=1，a₂=a＞0，若{a_n}为等比数列，
则an=an-1，∴bn=an-1•an=a2n-1．
当a=1时，b_n=1，则s_n=n；
当a≠1时，sn=

a(1-a2n)

1-a2

．
（2）解：∵3ⁿ=a_n•a_n+1，
∴3^n-1=a_n-1•a_n（n≥2，n∈N），
∴

an+1

an-1

=3(n≥2，n∈N)．
当n=2k+1（k∈N^*）时，

a2k+2

a2k

=3
∴a2k=a2•3k-1=a•3k-1；
当n=2k，（k∈N^*）时，

a2k+1

a2k-1

=3
∴a2k-1=3k-1．
∴an=

3 n-1 2 (n=2k-1) a•3 n-2 2 (n=2k)

．
（3）证明：∵a_na_n+1=n+2 ①，
∴a_n-1a_n=n+1（n≥2）②，
①-②得an(an+1-an-1)=1∴an+1-an-1=

1

an

(n≥2)
∴

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=（a₃-a₁）+（a₄-a₂）+…+（a_n+1-a_n-1）=a_n+a_n+1-a₁-a₂
∴

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=an+an+1-a1-a2+

1

a1

=an+an+1-3．
∵an+an+1＞2

an•an+1

=2

n+2

，
∴

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

＞2

n+2

-3．

点评：本题是数列与不等式综合题，考查了等比关系的确定，考查了首项转化思想方法，训练了放缩法证明数列不等式，是压轴题．