Question

9．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2，AD=$\sqrt{2}$，PA=PD=CD=CB=1，E总是线段PB上的动点．
（Ⅰ）当E点在什么位置时，CE∥平面PAD？证明你的结论．
（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的点E，求AE与底面ABCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角A-PD-C的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PA的中点F，连接DF，EF，由已知结合三角形中位线定理可得四边形DFEC是平行四边形，从而得到CE∥DF．再由线面平行的判定得答案；
（Ⅱ）由题意证明OA，OG，OP两两互相垂直，故以OA，OG，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系Oxyz．求出所用点的坐标，求得$\overrightarrow{AE}$的坐标，再求出底面ABCD的一个法向量，则AE与底面ABCD所成角的正弦值可求；
（Ⅲ）分别求出平面APD与平面PCD的一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，则二面角A-PD-C的正弦值可求．

解答 解：（Ⅰ）当E为PB的中点时，CE∥平面PAD．
证明如下：取PA的中点F，连接DF，EF，则EF∥$\frac{1}{2}AB$，$EF=\frac{1}{2}AB$．
由已知CD$∥\frac{1}{2}AB$，CD=$\frac{1}{2}AB$，则EF∥CD，EF=CD．
∴四边形DFEC是平行四边形，∴CE∥DF．
又CE?平面PAD，DF?平面PAD，∴CE∥平面PAD；
（Ⅱ）取AD中点O，AB的中点G，连接OP，OG，
∵PA=PD，∴PO⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PO⊥平面ABCD．
由已知可得AD²+BD²=AB²，∴BD⊥AD，
又OG∥BD，∴OG⊥AD，
∴OA，OG，OP两两互相垂直，
故以OA，OG，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系Oxyz．
A（$\frac{\sqrt{2}}{2}，0，0$），P（0，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（$-\frac{\sqrt{2}}{2}，\sqrt{2}，0$），E（$-\frac{\sqrt{2}}{4}，\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{4}$），
D（$-\frac{\sqrt{2}}{2}，0，0$），C（$-\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0）．
∴$\overrightarrow{AE}=（-\frac{3\sqrt{2}}{4}，\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{4}）$，
$\overrightarrow{OP}=（0，0，\frac{\sqrt{2}}{2}）$是平面ABCD的一个法向量，
设AE与底面ABCD所成角为θ，则
sinθ=|cos$＜\overrightarrow{OP}，\overrightarrow{AE}＞$|=$\frac{|\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{AE}|}{|\overrightarrow{OP}|•|\overrightarrow{AE}|}$=$\frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{7}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{14}}{14}$；
（Ⅲ）平面APD的一个法向量为$\overrightarrow{a}=（0，1，0）$，
$\overrightarrow{PD}=（-\frac{\sqrt{2}}{2}，0，-$$\frac{\sqrt{2}}{2}）$，$\overrightarrow{PC}$=（$-\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
再设平面PCD的一个法向量为$\overrightarrow{b}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{b}•\overrightarrow{PD}=0}\\{\overrightarrow{b}•\overrightarrow{PC}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{2}}{2}x-\frac{\sqrt{2}}{2}z=0}\\{-\sqrt{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y-\frac{\sqrt{2}}{2}z=0}\end{array}\right.$，
取z=1，则x=-1，y=-1，
∴$\overrightarrow{b}=（-1，-1，1）$．
∴二面角A-PD-C的余弦值的绝对值为$\frac{|\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角A-PD-C的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的性质，考查了利用空间向量求线面角和面面角，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．