Question

4．已知正数x，y满足2x+y=1，则4x²+y²+$\frac{1}{xy}$的最小值为$\frac{17}{2}$．

Answer 1

分析 由基本不等式可得0＜xy≤$\frac{1}{8}$，令t=xy，0＜t≤$\frac{1}{8}$，由4t-$\frac{1}{t}$在0＜t≤$\frac{1}{8}$递增，可得最小值．

解答 解：正数x，y满足2x+y=1，
可得2x+y≥2$\sqrt{2xy}$，
即有0＜xy≤$\frac{1}{8}$，
则4x²+y²+$\frac{1}{xy}$=（2x+y）²-4xy+$\frac{1}{xy}$
=1-（4xy-$\frac{1}{xy}$），
令t=xy，0＜t≤$\frac{1}{8}$，
由4t-$\frac{1}{t}$在0＜t≤$\frac{1}{8}$递增，
可得t=$\frac{1}{8}$时，4t-$\frac{1}{t}$取得最大值，且为-$\frac{15}{2}$，
则4x²+y²+$\frac{1}{xy}$在xy=$\frac{1}{8}$时，取得最小值，且为1+$\frac{15}{2}$=$\frac{17}{2}$．
故答案为：$\frac{17}{2}$．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，同时考查配方法和函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题．