Question

14．已知双曲线Γ：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的上焦点为F₁（0，c）（c＞0），下焦点为F₂（0，-c）（c＞0），过点F₁作圆x²+y²-$\frac{2c}{3}y+\frac{a^2}{9}$=0的切线与圆相切于点D，与双曲线下支交于点M，若MF₂⊥MF₁，则双曲线Γ的渐进线方程为（　　）

• A． 4x±y=0
• B． x±4y=0
• C． 2x±y=0
• D． x±2y=0

Answer 1

分析 由圆的方程求出圆心坐标，设出D的坐标，由题意列式求出D的坐标，结|MF|=3|DF|，求得M的坐标，再把M的坐标代入双曲线方程求得答案．

解答 解：由x²+y²-$\frac{2c}{3}y+\frac{a^2}{9}$=0，得x²+（y-$\frac{c}{3}$）²=$\frac{{b}^{2}}{9}$，
则该圆的圆心坐标为（0，$\frac{c}{3}$），半径为$\frac{b}{3}$．
设切点D（x₀，y₀）（y₀＞0），
则x²+y²-$\frac{2c}{3}y+\frac{a^2}{9}$=0与（x₀，y₀-c）•（x₀，y₀-$\frac{c}{3}$）=0，
解得：x₀=$\frac{b\sqrt{3{c}^{2}+{a}^{2}}}{6c}$，y₀=$\frac{3{c}^{2}-{a}^{2}}{6c}$．
∴D（$\frac{b\sqrt{3{c}^{2}+{a}^{2}}}{6c}$，$\frac{3{c}^{2}-{a}^{2}}{6c}$），
由题意得D是MF₁的中点，得M（2×$\frac{b\sqrt{3{c}^{2}+{a}^{2}}}{6c}$，2×$\frac{3{c}^{2}-{a}^{2}}{6c}$-c），
代入 双曲线Γ：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$整理得b=4a，∴双曲线Г的渐近线方程为x±4y=0．
故选：B．

点评 本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了圆与圆锥曲线间的关系，考查了学生的计算能力，是中档题．