Question

5．f（x）=|x+a|+|x-a²|，a∈（-1，3）
（1）若a=1，解不等式f（x）≥4
（2）若对?x∈R，?a∈（-1，3），使得不等式m＜f（x）成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若a=1，不等式f（x）≥4为|x+1|+|x-1|≥4，分类讨论解不等式f（x）≥4
（2）对?x∈R，?a∈（-1，3），使得不等式m＜f（x）成立，?a∈（-1，3），m＜|a+a²|，即可得出m的取值范围．

解答 解：（1）a=1，不等式f（x）≥4为|x+1|+|x-1|≥4
x＜-1，不等式化为1-x-x-1≥4，解得x≤-2，∴x≤-2；
-1≤x≤1，不等式化为1-x+x+1≥4，无解；
x＞1，不等式化为x-1+x+1≥4，解得x≥2，∴x≥2，
∴不等式的解集为{x|x≤-2或x≥2}；
（2）∵f（x）=|x+a|+|x-a²|≥|x+a-x+a²|=|a+a²|
对?x∈R，?a∈（-1，3），使得不等式m＜f（x）成立
∴?a∈（-1，3），m＜|a+a²|
令g（a）=a+a²，a∈（-1，3），则|g（a）|∈[0，12）
∴m＜12．

点评 本题考查不等式的解法，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．