Question

9．已知f（x）=e^x（x²+x+1），定义f₁（x）=f'（x），f₂（x）=[f₁（x）]′，…，f_n+1（x）=[f_n（x）]′，n∈N．经计算：f₁（x）=e^x（x²+3x+2）；f₂（x）=e^x（x²+5x+5）；f₃（x）=e^x（x²+7x+10），…照此规律，则f_n（x）=f_n（x）=e^x[x²+（2n+1）x+n²+1]．

Answer 1

分析 根据题意，x的系数成等差数列，规律为2n+1，常数项为n²+1，即可得出结论．

解答 解：∵f₁（x）=e^x（x²+3x+2）；f₂（x）=e^x（x²+5x+5）；f₃（x）=e^x（x²+7x+10），…，
∴照此规律，f_n（x）=e^x[x²+（2n+1）x+n²+1]，
故答案为f_n（x）=e^x[x²+（2n+1）x+n²+1]．

点评 本题考查了导数的运算法则和归纳推理的问题，属于中档题．